ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 8 класів

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів щодо означень, властивостей та ознак різновидів паралелограма; вдосконалити вміння учнів застосовувати вивчені твердження під час побудови правильних міркувань для розв’язування типових задач.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань.

Наочність та обладнання: конспекти «Паралелограм», «Ромб. Квадрат».

II. Перевірка домашньої роботи

1. Чи є ромбом будь-який квадрат?

2. Чи правильно, що існує прямокутник, який не є паралелограмом?

3. Три кути паралелограма рівні. Визначте вид паралелограма.

4. Як за допомогою транспортира за найменшої кількості вимірювань перевірити, чи є ромбом даний паралелограм?

1. Чи є прямокутником будь-який квадрат?

2. Чи правильно, що існує ромб, який не є паралелограмом?

3. Три сторони паралелограма рівні. Визначте вид паралелограма.

4. Як за допомогою транспортира за найменшої кількості вимірювань перевірити, чи є прямокутником даний паралелограм?

1. Чи існує чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, який не є ромбом?

2. Чи правильно, що жоден прямокутник не є ромбом?

3. Визначте вид чотирикутника, у якого є дві пари рівних протилежних кутів і жоден з них не гострий.

4. Як за допомогою лише циркуля перевірити, чи є чотирикутник квадратом?

1. Чи існує чотирикутник з рівними діагоналями, який не є прямокутником?

2. Чи правильно, що жоден ромб не є прямокутником?

3. Визначте вид чотирикутника, у якого дві сторони паралельні і дорівнюють третій стороні.

4. Як за допомогою лише циркуля перевірити, чи є чотирикутник прямокутником?

Оскільки письмові завдання домашньої роботи відповідали за змістом та рівнем складності письмовим завданням класної роботи, перевірку цих завдань учитель здійснює в стислій формі (озвучується, яке твердження було використане, а також відповідь).

III. Формулювання мети і завдань уроку

Мета уроку безпосередньо випливає з теми уроку. Оскільки на попередніх двох уроках було вивчено досить великий об’єм теоретичного матеріалу, а також розглянуто випадки лише прямого застосування вивчених тверджень, то на цьому уроці логічно було б систематизувати твердження та опанувати прийоми, а також сформувати сталі вміння (навички) із застосування набутих знань.

IV. Актуалізація опорних знань

Оскільки одна з цілей уроку — систематизація знань учнів щодо вивчених означень, властивостей та ознак прямокутника, ромба і квадрата, то для досягнення цієї мети треба поновити в пам’яті учнів названі твердження. Для цього доцільно розв’язати усно задачі.

1. У чотирикутнику точка перетину діагоналей ділить їх на чотири рівні відрізки. Якого виду цей чотирикутник?

2. Знайдіть у прямокутнику (рис. 1) усі рівні між собою кути.

3. АВ — діаметр кола, в який вписано чотирикутник ADBC, причому AD=BC (рис. 2). Доведіть, що ADBC — прямокутник.

4. ABCD — ромб (рис. 3). Визначте кут х.

5. ABCD — паралелограм, CM = CK (рис. 4). Доведіть, що ABCD — ромб.

V. Узагальнення та систематизація знань

1. Чи правильні твердження?

1) Якщо в чотирикутнику діагоналі не перпендикулярні, то цей чотирикутник не ромб.

2) Якщо в паралелограмі діагоналі нерівні, то він не може бути прямокутником.

2. Чи правильні твердження?

1) Кожний квадрат є прямокутником.

2) Існує ромб, який є прямокутником.

3) Жодний прямокутник не є ромбом.

4) Існує квадрат, який не є ромбом.

3. Чим відрізняється квадрат від ромба, який не є квадратом? Які спільні властивості мають ці фігури?

Після виконання усних вправ учні презентують схеми, які вони склали вдома.

Далі проводиться обговорення, корекція та узагальнення здобутих результатів. Таким чином формується уявлення учнів про співвідношення між вивченими поняттями «чотирикутник», «паралелограм», «прямокутник», «ромб», «квадрат», яке може бути зображене у вигляді схеми.

Після виконаної роботи зі складання схеми слід провести роботу із читання цієї схеми, а саме обговорити ряд питань такого змісту:

1. Як довести, що даний чотирикутник є прямокутником?

2. Як довести, що даний чотирикутник є ромбом?

3. Як довести, що даний чотирикутник є квадратом?

4. Як довести, що даний паралелограм є прямокутником?

5. Як довести, що даний паралелограм є ромбом?

6. Як довести, що даний паралелограм є квадратом?

7. Дано прямокутник. Які рівності виконуються для його елементів?

8. Дано ромб. Які рівності виконуються для елементів цього ромба?

9. Дано квадрат. Які рівності виконуються для елементів цього квадрата?

Відповіді на ці запитання є фактично загальними схемами для розв’язування типових задач на обчислення та доведення в темі «Прямокутник. Ромб. Квадрат».

VI. Застосування вмінь та навичок

На цьому етапі уроку проводиться робота із формування в учнів умінь використовувати схему та наслідки з неї для розв’язування задач достатнього рівня складності на доведення та обчислення із використанням означень, властивостей та ознак прямокутника, ромба і квадрата.

Виконання письмових вправ

1. Діагоналі паралелограма утворюють кути з однією з його сторін. Доведіть, що цей паралелограм — прямокутник.

2. Точка перетину діагоналей прямокутника розташована від більшої сторони на 5 см ближче, ніж від меншої сторони. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 44 см.

3. У паралелограмі ABCD бісектриси кутів А і В перетинають сторони ВС і AD у точках Е і F відповідно. Доведіть, що ABEF — ромб.

4. Висота, що проведена із вершини тупого кута ромба, ділить його сторону навпіл. Знайдіть:

б) сторону ромба, якщо його менша діагональ дорівнює 16 см.

5. Доведіть, що прямокутник, діагоналі якого перпендикулярні, є квадратом.

6. На діагоналі АС квадрата ABCD позначено точки К і М так, що АК = СМ (рис. 5). Доведіть, що BMDK – ромб.

@ За наявності часу та за рахунок побудови схематичного рисунка і запису тільки плану розв’язання, кількість задач для письмового розв’язання може бути збільшена. Під час розв’язування задач учитель формує в учнів уміння діяти за схемою.

Після проведення аналізу умови задачі учні складають відповідний логічний ланцюжок, який допоможе розв’язати задачу.

Такі розумові дії (виділення питань задачі; визначення виду питання; визначення виду твердження, що має бути використане для пошуку відповіді на питання, а далі — складання логічного ланцюжка із використанням даних задачі) мають передувати записам у зошитах учнів.

Формування вміння виконувати такі розумові дії — одна із головних цілей вивчення геометрії.

Для перевірки засвоєння учнями основного змісту уроку вчитель може запропонувати учням розв’язати усне завдання: за відповідним готовим рисунком (рис. 6 а, б) складіть задачу, щоб вона розв’язувалась із використанням:

а) властивості прямокутника;

Повторити теоретичні відомості з теми «Паралелограм та його види».

Виконати домашню самостійну роботу.

Домашня самостійна робота

1. Кут між діагоналлю і стороною ромба дорівнює 20°. Знайдіть кути ромба.

2. Діагональ ділить кут прямокутника у відношенні 1 : 8. Знайдіть тупий кут, який утворюється при перетині діагоналей прямокутника.

3. Доведіть, що прямокутник є квадратом, коли дві сусідні сторони утворюють з діагоналлю рівні кути.

4. Побудуйте ромб за висотою і периметром.

1. Кут ромба дорівнює 140°. Знайдіть кут між протилежною до цього кута діагоналлю і стороною ромба.

2. Діагональ ділить кут прямокутника на два кути, один з яких на 10° більший за інший. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

3. Доведіть, що паралелограм є ромбом, якщо дві сусідні сторони утворюють з діагоналлю рівні кути.

4. Побудуйте ромб за гострим кутом і висотою.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Паралелограм. Формули, ознаки та властивості паралелограма

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих).

Паралелограми відрізняються між собою як розміром прилеглих сторін, так і кутами, проте протилежні кути однакові.

Ознаки паралелограма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основні властивості паралелограма

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:

Сторони паралелограма

Формули визначення довжин сторін паралелограма:

1. Фрмула сторін паралелограма через діагоналі та кут між ними:

2. Формула сторін паралелограма через діагоналі та іншу сторону:

Діагоналі паралелограма

Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.

Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d ₁ 2

4. Формула діагоналі паралелограма через площу, відому діагональ та кут між діагоналями:

Периметр паралелограма

Формули визначення довжини периметру паралелограма:

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 – 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 – 4 b 2

Площа паралелограма

Площею паралелограма називається простір який обмежений сторонами паралелограма, тобто в межах периметру паралелограма.

Формули визначення площі паралелограма:

3. Формула площі паралелограма через дві діагоналі та синус кутa між ними:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Ромб. Формули, ознаки та властивості ромба

Ромб — це паралелограм, який має рівні сторони. Якщо у ромба всі кути прямі, тоді він називається квадратом.

Ознаки ромба

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основні властивості ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

Сторона ромба

Формули визначення довжини сторони ромба:

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута ( cos α ) або косинус тупого кута ( cos β ):

Діагоналі ромба

Формули визначення довжини діагоналі ромба:

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута ( cosα ) або косинус тупого кута ( cosβ )

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута ( cosα ) або косинус тупого кута ( cosβ )

7. Формули діагоналей через площу і другую діагональ:

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

Периметр ромба

Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Довжину сторони ромба можна знайти за формулами, вказаними вище.

Формула визначення довжини периметра ромба:

Площа ромба

Формули визначення площі ромба:

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута ( tgα ) або малу діагональ і тангенс тупого кута ( tgβ ):

Коло, вписане у ромб

Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб:

1. Формула радиуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]